LAS FRACCIONES

En la escuela primaria las fracciones se introducen a partir de la división de unidades entre un número entero (se divide un pastel, una pizza, una naranja, una barra de chocolate, etc.). Conservando este contexto, en el presente estudio se explora el potencial didáctico para el aprendizaje de la noción de fracción a partir de un tipo de problema prácticamente ausente en la enseñanza escolar en este nivel: la división de una fracción de unidad entre un entero. El estudio constituye una experiencia de microingeniería didáctica: con base en un análisis preliminar, se diseñó una secuencia de ocho situaciones didácticas que se aplicó en un grupo de quinto grado de primaria. Una parte del grupo de alumnos logró desarrollar procedimientos diversos para resolver la división de una fracción unitaria entre un entero, incluyendo un algoritmo. La división de fracciones no unitarias, en cambio, resultó considerablemente más difícil; se documentan todos estos procesos. Las dificultades que surgieron, principalmente debidas a los cambios de unidad de referencia de las fracciones, sugieren que, efectivamente, el estudio del tipo de problema planteado podría favorecer una comprensión más profunda de la noción de fracción como partes de unidad en este nivel escolar.


La intención de Las fracciones. Una propuesta constructivista para su enseñanza y aprendizaje es lograr que el docente las adapte a los intereses y necesidades de los alumnos y que éstos sean capaces de usar los conocimientos adquiridos para resolver algunos problemas de la vida, así como que lleguen a poseer los elementos indispensables que le auxilien a mejorar su aprovechamiento escolar.

Como una propuesta didáctica, los principios que deben regir la enseñanza de las fracciones, según L. Streefland2, son:

I. Lo importante es la "construcción" de las operaciones con las fracciones por los propios alumnos.
Construcción que se basa en la propia actividad del alumno, como estimación, desarrollo del sentido del orden y tamaño, etcétera.
Ejemplos:
a) Estimar la altura en metros de una casa, un árbol, una montaña, etc.
b) Colocar las fracciones 1/5 , 2/3 , 4/6 , 2/4 en los espacios según lo indican los signos:


II. Valorar las actividades de los estudiantes así como los métodos y procedi-mientos que utilizan para resolver problemas, aunque difieran de la forma-lidad propia de la materia.

III. Que el alumno sea capaz de formular sus propias reglas y generalizaciones para adquirir su conocimiento.

IV. Se deben utilizar los saberes previos del escolar, como base para empezar la secuencia de la enseñanza de fracciones (ideas relativas a mitades, tercios, cuar-tos, etc., los procesos básicos de dividir, repartir,…)


Interpretaciones de las fracciones, la intención es que sean las opciones adecuadas que ayuden a conseguir en los alumnos una mejor comprensión conceptual (operativa) de la idea de fracción.
El esquema es:

1) La relación parte-todo y la medida:
- Representaciones en contextos continuos y discretos
- Decimales
- Recta numérica

2) La fracción:
- Cociente
- En la probabilidad
- División indicada
- En los porcentajes
- Razón
- Como operador

La relación parte-todo y la medida.

Al trabajar en esta interpretación se ubica primeramente un 'todo' (continuo o discreto), el cual se divide en partes congruentes (puede ser de las partes de una superficie o la cantidad de objetos). Mediante la fracción nos vamos a dar cuenta de la relación que existe entre un determinado número de partes y el número total de partes.
Al 'todo' se le da el nombre de unidad. Debe haber mucha habilidad para dividir el objeto en partes o trozos iguales.

Para una comprensión operativa de la relación parte todo se necesita previamente el desarrollo de algunas habilidades como:

- Tener interiorizada la noción de inclusión de clases (según la terminología de Piaget)
- La identificación de la unidad (qué todo es el que se considera como unidad en cada caso concreto).
- La de realizar divisiones (el todo se conserva aun cuando lo dividamos en trozos, conservación de la cantidad).
- Tener la idea de área (esto en el uso de representaciones continuas).

De la relación parte-todo que sobre las fracciones se va a desarrollar, tenemos:
en representaciones continuas, en la recta numérica y representaciones discretas.


Las fracciones en la recta numérica.


Cada una de las partes en las que se dividió el cuadrado está en relación al todo (unidad) 1/10, una de las diez (una décima).

En la recta numérica, a la fracción a/b se le asocia un punto situado sobre ella, donde cada segmento unidad se divide en "b" partes (o en un múltiplo de b) congruentes, de las que se toma "a".
También se puede considerar como un caso particular de la relación parte-todo.
Se destaca esta interpretación ya que aquí implícitamente se realiza la asociación de un punto con una fracción.

La recta numérica también sirve para representar e interpretar a las fracciones como medida.
Se selecciona una unidad de medida (segmento) donde se hagan subdivisiones congruentes. Aquí se ve el número de 'adiciones iterativas' y se hace la compara-ción del objeto a medir con un instrumento graduable (regla graduada)

Al considerar a las fracciones en la interpretación de la medida, se proporciona el contexto natural para la 'suma' (unión de dos medidas) y para la introducción de los decimales.

La fracción como cociente.

Bajo esta interpretación se asocia la fracción a la operación de dividir un número natural por otro (división indicada a/b), o bien, dividir una cantidad en un número de partes dadas. T. E. Kieren (1980) "señala la diferencia entre la interpretación parte-todo con la de cociente; indica que, para el alumno que está aprendiendo a trabajar con fracciones, el dividir una unidad en cinco partes y tomar tres (3/5) resulta muy distinto del hecho de dividir tres unidades entre cinco personas, aunque el resultado sea el mismo".
En esta interpretación se considera que las fracciones tienen un doble aspecto:
a) Al ver la fracción como una división indicada, se establecen algunas equivalencias como:
b) Considerar las fracciones (números racionales) como los elementos de una estructura algebraica.

La fracción como división indicada (reparto)

La interpretación de la fracción que indica una división de dos números naturales (3/5 = 3÷5) aparece en un contexto de reparto; por ejemplo, si hay tres barras de pastel y se tienen que repartir en forma equitativa entre cinco niños ¿cuánto le tocará a cada uno?
La resistencia de los alumnos a ver 3÷5 como 3/5 puede ser debido a que muchos de ellos se encuentran familiarizados con la interpretación parte-todo para las fraciones, y por tanto, ven a 3/5 como la descripción de una situación (de cinco partes hay tres sombreadas), mientras que la división indica un proceso, precisamente el proceso de repartir 3 barras de pastel entre cinco alumnos.

Las fracción como razón

En los casos anteriores se trabajó a las fracciones en situaciones de comparación parte todo, otras veces las fracciones son usadas como 'índice comparativo' entre dos cantidades de una magnitud (comparación de situaciones).
Ahora hay que abordar el uso de las fracciones como razón; esto no se desprende de la relación parte-todo sino que se trata, en algunos casos, de una comparación bidimensional, es decir, no hay una representación o parte-todo.
En esa interpretación, la noción de par ordenado de números naturales toma mucha importancia.
Se espera que con los siguientes ejemplos se pueda clarificar esta interpretación de las fracciones.
a) Dados los conjuntos
La relación entre los triángulos de x y z es de 4/8: (4:8)
La relación entre los triángulos de z y x es de 8/4: (8:4)
b) En las figuras geométricas:
L es 3/6 de M (3:6)
M es 6/3 de L (6:3)



Las fracciones en la probabilidad

Las fracciones en fenómenos azarosos pueden considerarse para la interpretación donde se establezca la 'comparación' todo-todo entre el conjunto de casos favorables y el conjunto de casos posibles, por ejemplo:
En una bolsa hay 7 bolas negras y 3 blancas. Al sacar aleatoriamente una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra?
La probabilidad de extraer una bola negra es de 7 a 10 lo que se escribe también 7/10.


Las fracciones en los porcentajes

La relación que se establece entre un número y 100 (ó 1000) recibe el nombre particular de porcentaje. Por regla general, los porcentajes tienen asignado un aspecto de 'operador', es decir, al interpretar 'el 60% de 35' se concibe 'actuando la fracción 60/100 sobre 35' (hacer 100 partes de 35 y tomar 60).
Utilizando el lenguaje de aplicaciones, los porcentajes se pueden entender como el establecimiento de 'relaciones' entre conjuntos (razones) donde se dan subconjuntos de 100 partes. Por ejemplo, cuando en las tiendas comerciales se establecen las rebajas del 15%, se da una relación de: "15 es a 100" (15/100) que para una cantidad de $300.00 sería representado por:
15 pesos de 100 pesos
15 pesos de 100 pesos
15 pesos de 100 pesos
En este caso existe la 'misma relación' esto es "15 es a 100" (15/100) como "45 es a 300" (45/100).


Las fracciones como operadores

Bajo esta interpretación, las fracciones son vistas en el papel de transformaciones, es decir ".algo que actúa sobre una situación (estado) y modifica". Aquí se concibe a la fracción como una sucesión de multiplicaciones y divisiones, o a la inversa.
Por ejemplo, si en un contexto discreto se toma una situación de partida (estadunidad), el conjunto formado por los 36 niños de una clase, el efecto de aplicación del operador 2/3 (dos tercios) se puede representar por.
el estado final '24 niños' también recibe el nombre de estado 'dos tercios' como la descripción de un estado de cosas. El operador lleva implícito un convenio; primero actúa la división y luego la multiplicación.
Las interpretaciones de las fracciones vistas anteriormente son sólo otras propuestas para trabajar en primaria y secundaria. El docente tendrá que poner empeño e iniciativa didáctica para recobrar los elementos del diario acontecer de los alumnos contribuyendo a que éstos logren redescubrir el concepto de fracción y puedan aplicar sus conocimientos adquiridos.

PRENSA: " Terror a las fracciones"

http://www.clarin.com/diario/1998/05/21/e-05701d.htm